はじめまして。
１０年前ぐらいのフュージョンに乗っています。
いままでは何の故障もなく調子よく乗ってたのですが最近　乗ってる最中にエンジンが止まっちゃうんです。しかし、エンジンが止まりそうになった時にライトを消すとそのまま止まっちゃわずにはしります。ちなみにバッテリーは取り替えたばかりの新品です。どうしててすか？おしえてください。

充電系の故障が考えられます。
エンジンが掛かっていても充電が出来ずに、バッテリーの電気のみで走行している状態で 電圧が下がるとエンジンが止まってしまう状態と思います。（ライトを消すとその分の省エネ効果で、チョッとだけ生き延びる状態）＞バッテリー点火方式の宿命。
バッテリーへの負担も大きいので、ショップで点検・修理してもらいましょう。